Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory
Rozważmy przedział \( I \) zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( \( I\subset \mathbb{R} \) ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym punkcie przedziału \( I \) nazywamy funkcją pierwotną funkcji \( f \) w przedziale \( I \) , jeżeli w każdym punkcie \( x\in I \) zachodzi \( F ^{\prime} (x) = f(x) \) (tj. gdy w każdym punkcie z przedziału \( I \) pochodna funkcji \( F \) równa się wartości funkcji \( f \) ).
Przykład 1:
Rozważmy wielomian \( f(x)=x ^3-3x ^2 \). Wówczas wielomian określony wzorem \( F(x)= \frac14 x ^4-x ^3 +2016 \) jest funkcją pierwotną funkcji \( f \) na przedziale \( (-\infty, \infty) \), gdyż \( F ^{\prime} =f(x) \, \, \forall \, x \in \mathbb{R} \). Istnieją też inne funkcje pierwotne funkcji \( f \), np.: \( F_1(x)= \frac14 x ^4-x ^3 +2 \), \( F_2(x)= \frac14 x ^4-x ^3 -2 ^{10} \), \( F_3(x)= \frac14 x ^4-x ^3 \), ...
Uwaga 1:
Z powyższego przykładu wynika, że funkcja pierwotna danej funkcji nie jest wyznaczona jednoznacznie, a jednak mając jedną funkcję pierwotną łatwo wyznaczyć wszystkie pozostałe.
Twierdzenie 1: O funkcji pierwotnej
Dwie dowolne funkcje pierwotne tej samej funkcji \( f \) różnią się o stałą tzn.Jeśli \( F \) i \( G \) są funkcjami pierwotnymi na przedziale \( I \) do funkcji \( f \), to \( \exists \, c \in \mathbb{R} \, \, \forall \, x \in I \, : F(x)=G(x)+c \) .
Uwaga 2:
Prawdziwość powyższego twierdzenia wynika z własności pochodnych, tj. wzoru na pochodną sumy oraz z faktu, iż pochodna ze stałej \( c \) wynosi zero.
Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji \( f \) w przedziale \( I \) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji \( f \) w przedziale \( I \) i oznaczamy ją symbolem \( \int f(x)\, dx \). Zatem
\( \int f(x)\, dx = F(x) + c \Leftrightarrow F ^{\prime} (x) = f(x) \, . \)
Uwaga 3:
Wprost z powyższej definicji wynika ważna własność całki nieoznaczonej, że pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej, czyli
\( \left( \int f(x)\, dx \right) ^{\prime} = f(x)\, . \)
Przykład 2:
\( \int \sin x\, dx= -\cos x + c\, , \qquad \text{ bo } \quad \left(-\cos x \right) ^{\prime} = \sin x \, . \)
Przykład 3:
\( \int \frac{1}{1+x ^2}\, dx= \text{arctg}\, x + c \, , \qquad \text{ bo } \quad \left(\text{arctg}\, x \right) ^{\prime} =\frac{1}{1+x ^2}. \)
Twierdzenie 2: Wzory podstawowe
- \( \int x ^{\alpha}\, dx = \frac{x ^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c \), gdy \( \alpha \neq -1 \) (całka z funkcji potęgowej) ;
- \( \int \frac{dx}{x}= \text{ln}\, |x| + c \) ;
- \( \int a ^x \, dx = \frac{a ^x}{\text{ln}\, a}+ c \), gdy \( a \gt 0 \) i \( a \neq 1 \) (całka z funkcji wykładniczej) ;
- \( \int \sin x \, dx =-\cos x + c \) ;
- \( \int \cos x \, dx =\sin x + c \) ;
- \( \int \frac{dx}{\cos ^2 x}=\text{tg}\, x+ c \) ;
- \( \int \frac{dx}{\sin ^2 x}=-\text{ctg}\, x+ c \) ;
- \( \int \frac{dx}{\sqrt{1-x ^2}}=\arcsin x + c \) ;
- \( \int \frac{dx}{1+ x ^2} =\text{arctg}\, x+ c \) .
Uwaga 4:
Powyższe wzory łatwo sprawdzić - wystarczy pokazać, że pochodna wyniku jest równa funkcji podcałkowej. Przykładowo
\( \left(\frac{a ^x}{\text{ln}\, a} \right) ^{\prime} = \frac{1}{\text{ln}\, a} \left(a ^x \right) ^{\prime} = \frac{1}{\text{ln}\, a} \cdot \text{ln}\, a \cdot a ^x =a ^x\, . \)
Przykład 4:
Obliczmy całkę \( \int \frac{dx}{\sqrt{x ^3}} \). Korzystając z działań na potęgach oraz ze wzoru 1. powyższego twierdzenia otrzymujemy
\( \int \frac{dx}{\sqrt{x ^3}}=\int x ^{-\frac{3}{2}}\, dx = \frac{x ^{-\frac{1}{2}} }{-\frac{1}{2}}+ c= -\frac{2}{\sqrt{x}} + c \, . \)
Przykład 5:
Obliczmy całkę \( \int e ^x \, dx \). Korzystając ze wzoru na całkę nieoznaczoną dla funkcji wykładniczej (por. twierdzenie - wzory podstawowe ) otrzymujemy
gdyż \( \text{ln}\, e = 1 \).
\( \int e ^x\, dx = \frac{e ^x}{\text{ln}\, e}+ c = e ^x + c \, , \)
Wniosek 1: Z twierdzenia Wzory podstawowe
W szczególności prawdziwe są wzory:
- \( \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2\sqrt{x} + c \) ;
- \( \int \frac{1}{x ^{\alpha}}\, dx=-\frac{1}{(\alpha -1)x ^{\alpha -1}} + c \), gdy \( \alpha\neq 1 \), więc tym samym np. \( \int \frac{1}{x ^2}\, dx = -\frac{1}{x} + c \) ;
- \( \int e ^x \, dx = e ^x+ c \) ;
Twierdzenie 3: O całce sumy
Jeżeli funkcje \( f \) oraz \( g \) mają funkcje pierwotne w przedziale \( I \), to suma \( f + g \) ma również funkcję pierwotną w przedziale \( I \). Ponadto zachodzi równość:
\( \int \left( f(x) + g(x) \right)\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x) \, dx\, . \)
Przykład 6:
Obliczmy całkę z funkcji \( f(x) = x ^5 + \frac{x+1}{\sqrt{x ^5}}+\frac{1}{x ^5} \). Skorzystamy tu z twierdzenia o całce sumy oraz ze wzoru podstawowego na całkę z funkcji potęgowej.
\( \int \left( x ^5 + \frac{x+1}{\sqrt{x ^5}}+\frac{1}{x ^ 5} \right)\, dx= \int \left( x ^5 +x ^{1-\frac{5}{2}} + x ^{-\frac{5}{2}} + x ^{-5} \right)\, dx= \int x ^5\, dx + \int x ^{-\frac{3}{2}}\, dx + \int x ^{-\frac{5}{2}} \, dx + \int x ^{-5}\, dx \\ = \frac{x ^6}{6} -2 x ^{-\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} x ^{-\frac{3}{2}} - \frac{x ^{-4}}{4}+c\, . \)
Przykład 7:
Obliczmy całkę \( \int \frac{x ^2 + 2}{x ^2 + 1}\, dx \). Stosując proste dopełnienie algebraiczne, otrzymujemy
\( \int \frac{x ^2 + 2}{x ^2 + 1}\, dx= \int \left( \frac{x ^2 + 1}{x ^2 + 1} + \frac{1}{x ^2+1} \right)\, dx= \int 1\, dx + \int \frac{1}{1+ x ^2} \, dx= x + \text{arctg}\, x + c\, . \)
Twierdzenie 4: o wyciąganiu stałej przed znak całki
Jeżeli funkcja \( f \) ma funkcję pierwotną w przedziale \( I \), to dla dowolnej stałej \( a \) iloczyn \( a\cdot f \) ma również funkcję pierwotną w przedziale \( I \). Ponadto dla dowolnej stałej \( a \) prawdziwa jest równość:
\( \int a \cdot f(x)\, dx = a\cdot \int f(x)\, dx \, . \)
Przykład 8:
Obliczmy całkę \( \int 2 ^{x-2}\, dx \). Korzystając z działań na potęgach oraz z twierdzenia o wyciąganiu stałej przed znak całki mamy
\( \int 2 ^{x-2}\, dx= \int \frac{2 ^x}{2 ^2}\, dx=\frac{1}{4} \int 2 ^x \, dx= \frac{1}{4}\cdot \frac{2 ^x}{\text{ln}\, 2} + c =\frac{2 ^x}{\text{ln}\, 16} + c\, . \)
Przykład 9:
Obliczmy całkę \( \int \frac{\sin 2x}{\cos x}\, dx \).
\( \int \frac{\sin 2x}{\cos x}\, dx= \int \frac{2\sin x \cos x}{\cos x}\, dx= 2 \int \sin x \, dx =-2 \cos x + c \, . \)
Przykład 10:
\( \int x \, dx = \frac12 x ^2 +c \), gdyż \( \left( \frac12 x ^2 \right) ^{\prime}= \frac12 \cdot 2x =x \). \( \int x \, dt = x\int dt = xt +c \), gdyż \( \left( xt \right) ^{\prime}=x \left( t \right) ^{\prime}= x \).
Wniosek 2: Z twierdzenia O całce sumy i z twierdzenia o wyciąganiu stałej przed znak całki
Jeżeli funkcje \( f \) oraz \( g \) mają funkcje pierwotne w przedziale \( I \), to różnica \( f - g \) ma również funkcję pierwotną w przedziale \( I \). Ponadto zachodzi równość
\( \int \left( f(x) - g(x) \right)\, dx = \int f(x)\, dx - \int g(x) \, dx \, . \)
Przykład 11:
Obliczmy całkę \( \int \left(\cos x - \frac{1}{x} \right) \, dx \).
\( \int \left(\cos x - \frac{1}{x} \right) \, dx = \int \cos x \, dx - \int \frac{1}{x}\, dx = \sin x - \text{ln}\, |x| + c \, . \)
Wniosek 3: Z twierdzenia O całce sumy i z twierdzenia o wyciąganiu stałej przed znak całki
Jeżeli funkcje \( f \) oraz \( g \) mają funkcje pierwotne w przedziale \( I \), to dla dowolnych liczb \( a \) i \( b \) funkcja \( a\cdot f + b \cdot g \) ma również funkcję pierwotną w przedziale \( I \) oraz
\( \int \left( a f(x) + b g(x) \right)\, dx = a \int f(x)\, dx + b \int g(x) \, dx \, . \)
Przykład 12:
Obliczmy całkę z wielomianu \( W(x)=5x ^4-6x ^2-x+5 \).
\( \int \left( 5x ^4-6x ^2-x+5 \right)\, dx= 5\int x ^4 \, dx -6 \int x ^2 \, dx - \int x \, dx +5 \int \, dx = x ^5-2 x ^3 -\frac{1}{2} x ^2+ 5x + c\, . \)
Przykład 13:
Obliczmy całkę \( \int \frac{x ^2}{2x ^2 + 2} \, dx \).Żeby można było użyć wzorów podstawowych, zastosujemy tutaj proste dopełnienie algebraiczne oraz wykorzystamy powyższy wniosek.
\( \int \frac{x ^2}{2x ^2 + 2} \, dx = \int \frac{1}{2} \left(\frac{x ^2 +1}{x^2 + 1}- \frac{1}{x ^2 +1} \right) \, dx = \int \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x ^2 +1}\right)\, dx = \frac{1}{2} \int 1\, dx - \frac{1}{2}\int \frac{1}{x ^2 +1}\, dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \text{arctg}\, x + c \, . \)